转载自:https://blog.csdn.net/tramp_1/article/details/52742572网络流四·最小路径覆盖
H市一共有N个旅游景点(编号1..N),由M条单向游览路线连接。在一个景点游览完后,可以顺着游览线路前往下一个景点。 为了避免游客重复游览同一个景点,游览线路保证是没有环路的。 每一个调查团可以从任意一个景点出发,沿着计划好的游览线路依次调查,到达终点后再返回。每个景点只会有一个调查团经过,不会重复调查。 举个例子:
上图中一共派出了3个调查团: 1. 蓝色:调查景点;2 2. 橙色:调查景点;1->3->4->6 3. 绿色:调查景点;5->7 当然对于这个图还有其他的规划方式,但是最少也需要3个调查团。 由于小组内的人数有限,所以大家希望调查团的数量尽可能少,同时也要将所有的景点都进行调查。 输入第1行:2个整数N,M。1≤N≤500,0≤M≤20,000。 第2..M+1行:2个数字u,v,表示一条有向边(u,v)。保证不会出现重复的边,且不存在环。 输出第1行:1个整数,表示最少需要的调查团数量。
样例输入7 71 21 32 43 44 54 65 7样例输出3
提示:最小路径覆盖
对于一条路径,起点的入度为0,终点的出度为0,中间节点的出入度都为1。 每一个点最多只能有1个后继,同时每一个点最多只能有1个前驱。 假如我们选择了一条边(u,v),也就等价于把前驱u和后继v匹配上了。这样前驱u和后继v就不能和其他节点匹配。 利用这个我们可以这样来构图: 将每一个点拆分成2个,分别表示它作为前驱节点和后继节点。将所有的前驱节点作为A部,所有后继节点作为B部。
接下来进行连边,若原图中存在一条边(u,v),则连接A部的u和B部的v。
在这个上面做一个最大二分匹配:
其中实线表示被选中的匹配,虚线表示未被选中的。 有没有发现,和原图刚好有着对应的关系。 这样在匹配结束的时候,我们就可以直接通过匹配的情况来确定选中的路径。 但是如何保证这样就能得到最小的路径覆盖呢? 如果一个点是路径起点的话,它在B部的节点一定是没有匹配上的。 经过最大匹配算法后,B部剩下没有被匹配的点一定是最少的,也就对应了最小需要的路径数。 所以最小路径覆盖的结果才是N-最大匹配数。 正是这样,这样问题也就解决了。接下来第二个问题,怎么用网络流来解决二分匹配呢? 上一次我们讲了二分多重匹配,二分匹配不就是它的简化版么。 只需要把源点s到A部的边和B部到汇点t的边容量限定为1就可以了!
- #include <iostream>
- #include <cstdio>
- #include <cstdlib>
- #include <cstring>
- #include <algorithm>
- #define MAX 1010
- #define MAXCF 101
- #define min(a,b) (a)>(b)?(b):(a)
- using namespace std;
- int cf[MAX][MAX];//存储图
- int queue[MAX];//搜索队列
- int path[MAX];//保存路径
- int capacity[MAX];//流量数组,保存经过该点的最小流量
- bool visited[MAX];//记录访问数组
- int findAugmentPath(int T)
- {
- int i = 0, tail = 0;
- memset(visited, 0, sizeof(visited));
- queue[tail] = 1;//将源点加入队列
- capacity[1] = MAXCF;
- visited[1] = true;
- while (i <= tail)
- {
- int u = queue[i];
- if (u == T)
- return capacity[T];//找到一条增广路径,返回该路径最小流量
- for (int v = 2; v <= T; v++)
- {
- if (!visited[v] && cf[u][v] > 0)
- {
- path[v] = u;
- capacity[v] = min(cf[u][v], capacity[u]);//记录路径上的最小残余流量
- visited[v] = true;
- tail++;
- queue[tail] = v;
- }
- }
- i++;
- }
- return 0;
- }
- void modifyGraph(int T)
- {
- int flow = capacity[T];
- int now = T;
- while (now != 1)
- {
- int fa = path[now];
- cf[fa][now] -= flow;
- cf[now][fa] += flow;
- now = fa;
- }
- }
- int main()
- {
- int N, M;
- int i, j;
- int u, v;
- while (cin >> N >> M)
- {
- int S = 1;
- int E = S + N + N + 1;
- int result = 0;
- memset(cf, 0, sizeof(cf));
- for (i = 0; i < N; ++i)
- {
- cf[S][S + i + 1] = 1;
- cf[S + N + i + 1][E] = 1;
- }
- for (i = 0; i < M; ++i)
- {
- cin >> u >> v;
- cf[S + u][S + N + v] = 1;
- }
- int maxFlow = 0;
- int delta = 0;
- while (delta = findAugmentPath(E))
- {
- maxFlow += delta;
- modifyGraph(E);
- }
- cout << N - maxFlow << endl;
-
- }
- return 0;
- }
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